Происходит это потому, что вместо семантически верного submit тут стоит button с каким-то навороченным джаваскриптом и момент сабмита, когда фаерфокс предлагает сохранить пароль, он почему-то пропускает. Что делать? Да подправить страницу чтобы в ней был сабмит, например, с помощью firebug:
Нажимаем на новую кнопочку — и вуаля, предложение "вы хотите сохранить пароль?"
